TÜREV ALMA

1. Türevin Tanımı 1

a, b birer reel sayı olmak üzere,

 fonksiyonu verilmiş olsun.

limiti bir reel sayı ise, bu limit değerine f fonksiyonunun x₀ daki türevi denir.

Ve f ‘(x₀), Df(x₀) ya da  ile gösterilir. Buna göre,

x – x₀ = h alınırsa x ® x₀ için h ® 0 olur. Bu durumda, tanım olarak,

eşitliği de yazılabilir.

2. Türevin Tanımı 2

fonksiyonu için,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki sağdan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir. Benzer şekilde,

limiti varsa bu limite f fonksiyonunun x = a daki soldan türevi denir. Ve

biçiminde gösterilir.

f fonksiyonunun, x = a daki sağdan türevi soldan türevine eşit ise f nin x = a da türevi vardır (ve bulunan bu limit değerleri, o noktadaki türeve eşittir). Aksi takdirde türevi yoktur.

Sonuç

1. f ‘(a+) = f’(a–) ise f fonksiyonunun x = a da türevi vardır. 2. f fonksiyonunun x = a da türevi varsa f fonksiyonu x = a da süreklidir. 3. f fonksiyonu, x = a da sürekli olduğu hâlde, o noktada türeve sahip olmayabilir. 4. f fonksiyonu x = a da sürekli değilse türevli de değildir.

Uyarı

Bir fonksiyonun, bir noktada türevinin olması için gerek koşul, o noktada sürekliliktir. Ancak bu, o noktada türevin olması için yeterli değildir.

TÜREV ALMA KURALLARI

1. xⁿ nin Türevi

2. c Sabit Sayısının Türevi

3. c × f(x) in Türevi

4. Toplamın Türevi

5. Farkın Türevi

6. Çarpımın Türevi

7. Bölümün Türevi

Sonuç

8. Mutlak Değer Fonksiyonunun Türevi

 verilsin.  olmak üzere,

f(a) = 0 ise fonksiyonun bu noktada türevi olabilir ya da olmayabilir. Bunu araştırmak için fonksiyonun sağdan ve soldan türevlerine bakılır. Sağdan ve soldan türevler eşit ise fonksiyon bu noktada türevlidir. Aksi hâlde türevli değildir.

Sonuç

Mutlak değer fonksiyonu tek katlı köklerde köşe (uç) oluşturur. Köşe (uç) noktalarda türev yoktur. Çift katlı köklerde köşe (uç) oluşmaz. Bunun için, çift katlı köklerde türev vardır ve sıfırdır.

9. İşaret Fonksiyonunun Türevi

10. Tam Değer Fonksiyonunun Türevi

11. Bileşke Fonksiyonun Türevi

Uyarı

f ‘(2) gösterimi [f(2)]‘ gösterimi ile karıştırılmamalıdır. f ‘(2) ¹ [f(2)]‘ dir. Çünkü f ‘(2) gösterimi, fonksiyonun türevinin, yani f ‘(x)  in x = 2 için değeridir. [f(2)]‘ gösterimi, fonksiyonun x = 2 için değerinin (Yani, bir reel sayının) türevidir. [f(2)]‘ = 0 dır.

Kural

12. Köklü Fonksiyonun Türevi

Kural

13. Logaritmik Fonksiyonun Türevi

Kural

14. Üstel Fonksiyonun Türevi

Kural

15. Parametrik Olarak Verilen Fonksiyonların Türevi

 fonksiyonu  şeklinde belirtilebileceği gibi, g ve h iki fonksiyon olmak üzere

y = g(t)

x = h(t)

denklemleri ile de belirtilebilir. Burada t ye parametre denir.

Bazen y = g(t) ve x = h(t) denklemlerinden t yok edilerek y = f(x) şeklinde bir denklem elde edilebilir. Ancak bu her zaman mümkün olmayabilir.

Bu durumda,

y = g(t), x = h(t) parametrik denklemleriyle verilen
y = f(x) fonksiyonunun türevi aşağıda verilen kural yardımıyla bulunur.

16. Kapalı Fonksiyonların Türevi

F(x, y) = 0 şeklindeki fonksiyonlara kapalı fonksiyon denir.

x in değişken, x in dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_x ile ve y nin değişken, y nin dışında kalanların sabit gibi düşünülmesiyle alınan türevi F_y ile gösterelim.

Buna göre, kapalı fonksiyonun türevini şu kural yardımıyla buluruz:

17. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

18. Ardışık Türevler

y = f(x) in türevi  olmak üzere,

f’(x) in türevi olan  ifadesine

y = f(x) in ikinci mertebeden türevi denir.

Benzer şekilde,  ifadesine de y = f(x) in n.

mertebeden türevi denir.

Kural

19. Ters Fonksiyonların Türevi

f: A ® B, birebir ve örten bir fonksiyon ise f(x) in tersi olan f^–1(x) fonksiyonu bulunur. Sonra türev alınır. Bunun zor olduğu durumlarda ters fonksiyonun türevi şöyle alınır.

Kural

Ters trigonometrik fonksiyonların türevinin bulunmasında şu formüller kullanılabilir.

Örnek

y=x3−4x2−4 ise dydx=?

Çözüm

dydx=3x2−8x

Örnek

y=x√ ise y′′(x)=?

Çözüm

y=x12→dydx=12x−12

y′′=−14x−32

Örnek

y=1x,y=x2 fonksiyonları için dydx=?

Çözüm

y=1x=x−1→y′=−x−2

y=x2→y′=12

Örnek

y=3t−t3−−−−−−√ dydt

Çözüm

y=3t−t3−−−−−−√=(3t−t3)12→y′=12(3t−t3)−12⋅(3−3t2)

Örnek

y=(x−1)(x+1) ise dydx=?

Çözüm

y′=(x+1)+(x−1)=2x

Örnek

y=x2(x−2)x3√ ise dydx=?

Çözüm

y=x2(x−2)x32=x12(x−2)=x32−2x12

y′=32x12−x−12

Örnek

y=1x2(x3−1x)

Çözüm

y=1x2(x3−1x)=x−1x3

y′=1+3x−4

Örnek

y=(2x+3)3 ise y′(x) = ?

Çözüm

y′=3(2x+3)2⋅2=6(2x+3)2

Örnek

y=(1x−x2+2x−−√3)3 ise y′(x) = ?

Çözüm

y′=3(1x−x2+2x−−√3)2⋅(−1x2−2x+13(2x)−23)

Örnek

f(1−2t)=t3−2t2+4 ise f′(3)=?

Çözüm

(f(1−2t))′=(t3−2t2+4)′→−2f′(1−2t)=3t2−4t
f′(3) için t=−1 koymalıyız. −2f′(3)=3+4→f′(3)=−72

Örnek

f:N→R olmak üzere
f(x2−2)=2x3−x−2 ise f′(2)=?

Çözüm

(f(x2−2))′2xf′(x2−2)=(2x3−x−2)′=6x2+x−3

f′(2) için x=2 koymalıyız.

2xf′(x2−2)=6x2+2x−3→4f′(2)=24+14

y′(2)=6+116

Örnek

u′(3)=4,v(1)=3,v′(1)=−1 ise (u∘v)′(1)=?

Çözüm

(u∘v)′(1)=u′(v(1))⋅v′(1)→u′(3)⋅−1=−4

Örnek

f(x)=x3−2x2−x+1 ve g(x)=−x2+1 ise (f∘g)′(2)

Çözüm

(f∘g)′(2)=f′(g(2))⋅g′(2)
g(2)=−3 ve g′(x)=−2x→g′(2)=−4
f′(x)=3x2−4x−1→f′(g(2))=f′(−3)=38

(f∘g)′(2)=f′(g(2))⋅g′(2)=38⋅−4=−152

Örnek

f(x−2)=(x2−2)g(−x−1), g(0)=1 ve f′(−3)=0 ise g′(0)=?

Çözüm

f′(x−2)f′(x−2)f′(−1−2)f′(−3)=(x2−2)′g(−x−1)+(g(−x−1))′⋅(x2−2)=2x⋅g(−x−1)+−g′(−x−1)⋅(x2−2)=−2⋅(g(1−1)+−g′(1−1)⋅(1−2)=−2g(0)+g′(0)→g′(0)=2

Örnek

P(x) bir polinom olmak üzere P(x)+P′(x)=3x−4 ise P(−2) nedir?

Çözüm

Polinom derecesi türev alınca bir düştüğü için P(x) birinci derece olmalıdır.
P(x)=ax+b→P′(x)=a ve P(x)+P′(x)=ax+a+b=3x−4. Buradan a=3 ve b=−7 çıkar.
P(x)=3x−7→P(−2)=−13

Örnek

f(x)=x3−2x2 ve g(x)=−x+2 ise (f+g)′(−1)=?

Çözüm

f′(x)=3x2−4x ve g(x)=−1 dir.
(f+g)′(−1)=f′(−1)+g′(−1)=3+4+−1=6